SHM(단조화 진동) 인터랙티브 물리 실험실

단조화 진동(SHM)의 물리학적 원리

단조화 진동(Simple Harmonic Motion, SHM)은 물리학에서 가장 기본적이면서도 중요한 운동 형태입니다. 복원력이 변위에 비례하고 방향이 반대인 경우($F \propto -x$), 물체는 평형점을 중심으로 주기적인 왕복 운동을 하게 됩니다. 이 시뮬레이터는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 따르는 이상적인 1차원 용수철-질량 진동자를 모델링합니다.

1. 운동 방정식의 유도

뉴턴의 제2법칙($F=ma$)과 훅의 법칙($F=-kx$)을 결합하면 다음과 같은 2계 미분방정식을 얻을 수 있습니다.

이 미분방정식의 일반해는 사인(sine) 또는 코사인(cosine) 함수 꼴로 나타납니다. 여기서 각진동수 $\omega$ (omega)를 도입하면 수식이 간결해집니다.

2. 시간 함수로서의 위치, 속도, 가속도

위 운동 방정식의 해를 통해 우리는 시간 $t$에 따른 물체의 상태를 정확히 예측할 수 있습니다. 시뮬레이터는 아래 수식을 실시간으로 계산하여 그래프로 표현합니다.

• 위치 $x(t)$: $A \cos(\omega t + \phi)$
  변위가 최대일 때 속도는 0이 됩니다.
• 속도 $v(t)$: $-\omega A \sin(\omega t + \phi)$
  평형점($x=0$)을 지날 때 속력이 최대가 됩니다.
• 가속도 $a(t)$: $-\omega^2 A \cos(\omega t + \phi)$
  가속도는 항상 변위와 반대 방향(복원력의 방향)으로 작용합니다.

여기서 $A$는 진폭(Amplitude), $\phi$는 초기 위상각(Phase Constant)으로, 이는 초기 조건($x_0, v_0$)에 의해 결정됩니다.

실생활에서의 단조화 진동

SHM은 단순한 이론적 모델을 넘어 자연계와 공학 전반에서 발견되는 보편적인 현상입니다.

에너지 보존 법칙의 시각화

이 시뮬레이터에서는 마찰이나 공기 저항과 같은 비보존력을 고려하지 않으므로, 역학적 에너지(위치 에너지 + 운동 에너지)의 총합은 항상 일정하게 보존됩니다.

• 탄성 위치 에너지 ($U_s$): 용수철이 $x$만큼 변형되었을 때 저장된 에너지입니다. ($U_s = \frac{1}{2}kx^2$)
• 운동 에너지 ($K$): 질량 $m$인 물체가 속도 $v$로 움직일 때 가지는 에너지입니다. ($K = \frac{1}{2}mv^2$)

그래프를 관찰해 보세요. 위치($x$)가 최대일 때(양끝 점), 속도($v$)는 0이 되며 모든 에너지는 위치 에너지 형태로 존재합니다. 반대로 위치가 0일 때(평형점), 속도는 최대가 되며 모든 에너지는 운동 에너지로 전환됩니다. 우측 대시보드의 'Energy (E)' 값이 시간이 지나도 변하지 않는 것을 통해 이를 확인할 수 있습니다.

실험 가이드: 직접 확인해보세요

단순히 구경하는 것을 넘어, 파라미터를 조절하며 다음과 같은 물리적 현상을 직접 검증해 볼 수 있습니다.